Аналіз досліджень і постановка задачі.
Захисні споруди відіграють важливу роль у захисті населення під час повітряних атак. Під час застосування звичайних боєприпасів захисні споруди повинні захищати мешканців від вибухової хвилі та від осколків. Це вимагає проведення спеціальних розрахунків. На сьогоднішній день запропоновано різні підходи розрахунку за дії вибухової хвилі [1, 3-7, 10].
Відомо, що розрахунок конструкцій за дії динамічних навантажень виконується із використанням основного диференціального рівняння динаміки. У випадку багатомасової системи вирішується система диференціальних рівнянь [2, 3, 6, 7]. Одним з найпоширеніших наближених методів є заміна реальної системи з кількома ступенями вільності системою, що має одну еквівалентну масу (так звана SDOF-система). Ця модель використовується, коли за допомогою модального аналізу система n зв'язаних диференціальних рівнянь зводиться до n окремих рівнянь, кожне з яких розглядається як SDOF-система [6].
Важливим і теоретично малодослідженим питанням є дослідження впливу різного часу приходу тиску вибухової хвилі в різних точках конструкції, що може позитивно або негативно впливати на переміщення та внутрішні сили в конструктивних елементах. Так, в [5] була показана методика розрахунку з врахуванням різного часу приходу сил на різні маси (вузли) розглядуваної конструкції. Але там же показані незручності використання такої методики, де час дії навантаження слід ділити на багато проміжків, які включають як час дії конкретної сили, так і накладання дії окремих сил.
В [3] показаний метод розрахунку з врахуванням різного часу приходу миттєвих імпульсів. Однак, як показують дослідження [5], нехтування часу дії конкретного імпульсу може призвести до похибок. Чим більшим є час дії сили, тим більшою може бути похибка в нехтуванні цього часу. Окрім того, розгляд миттєвого імпульсу не завжди можна використати при намаганні розгляду негативної фази тиску вибухової хвилі, яка має також вплив на відгук системи [8].
З огляду на вищесказане метою статті є розгляд методики розрахунку конструкцій за дії навантажень у вигляді імпульсів з врахуванням часу їх дії, а також врахуванням різного часу приходу цих імпульсів до різних точок конструкції.
Викладення основного матеріалу.
Відомо, що багатомасову систему можна звести до системи з однією еквівалентною масою [5-7]. Розглянемо динамічну систему з n масами, на які діють сили, що змінюються за лінійним законом Fj(t)=Pj(1-tj/τj), де τj – час дії j-тої сили, tj – час приходу цієї сили.
Відома система диференціальних рівнянь руху системи без врахування демпфування виглядає [6, 7]:
де M – матриця мас; K – матриця жорсткості; F(t) – вектор узагальнених сил.
Відомо, що фізичні переміщення можуть бути представлені у вигляді модального розкладення
або в розгорнутому вигляді для j-тої маси:
де qi(t) – узагальнені координати, φji – компонента (значення) i-тої форми коливань в j-тому вузлу [6], тобто j – це номер вузла, i – номер моди (форми коливань).
Для рішення системи (1) слід визначити власні частоти і форми з рівнянь:
де ωi – частота власних коливань i-тої форми; Φi – i-та форма коливань (вектор-стовпчик), який визначається:
Модальна маса визначається за відомим виразом:
Або в розгорнутому вигляді:
На j-ту масу діє сила:
Тобто кожна сила за (8) діє на ділянці tj≤t≤τj, де tj=(j-1)Δt, а Δt – час запізнення розглядуваної сили по відношенню до часу дії попередньої сили.
Узагальнена сила i-тої моди визначається:
З врахуванням вище сказаного модальне рівняння буде виглядати:
В [5] було наведено рішення з покроковим розгляданням рівняння після дії кожної сили. Але використання відомого інтегралу Дюамеля дає можливість об’єднати всі кроки в одному інтегралі. При початкових нульових умовах інтеграл Дюамеля виглядає:
Підставляючи Qi(t) за (9), матимемо:
Через те, що сила Fj діє лише в інтервалі часу від tj до tj+τj, матимемо:
Верхня межа інтегралу в (13) означає, що якщо сила j ще діє, тобто t<tj+τj, то min(t, tj+τj)=t, тобто за верхню межу інтегралу береться t. Якщо імпульс вже закінчився, тобто t>tj+τj, то min(t, tj+τj)= tj+τj, і тоді за верхню межу інтегралу (13) треба приймати tj+τ.
Вільна фаза коливань починається коли дія всіх сил закінчиться. В цій фазі будемо шукати максимум відгуку системи у вигляді суми максимумів модальних відгуків qi,max. Позначимо через t0 час, коли закінчиться дія останньої сили Fn. Аналітична форма qi(t) в фазі вільних коливань має вигляд:
Враховуючи, що:
і те, що t в виразі (14) є в цьому іиразі константою, можемо записати:
Де константи Ai та Bi:
З врахуванням окремих сил Pj вирази для констант будуть виглядати:
де позначено: s=ξ-tj.
Для сили з номером j при трикутному спадаючому імпульсі для Ai та Bi за аналогією отримання (17) матимемо:
де через Cij, Dij позначено:
Вирази (19) та (20) отримані з використанням відомої тригонометричної залежності:
Інтегрування дає значення:
В фазі вільних коливань через те, що максимум виразу  дорівнює  , то максимум виразу (16) буде мати вигляд:
Внесок i-тої моди в переміщення j-тої маси визначається [6]:
Оцінка зверху має вигляд:
При використанні методу SRSS для підсумовування модальних внесків:
Також можна використати і відомий метод підсумовування CQC [6].
Таким чином через використання інтегралу Дюамеля на відміну від [5] ми отримали аналітичний вираз для визначення модальних відгуків системи, на яку діють сили різної довжини і в різний час, без окремого розгляду кожного проміжку часу між силами.
Навіть у випадку, коли проміжок часу між дією сили Fi+1 і силою Fi може бути більшим за час дії сили Fi, інтеграл Дюамеля автоматично врахує, що перед початком дії сили Fi+1 система буде короткий проміжок часу знаходитися в фазі вільних коливань. Це пов’язано з фактом, що вся інформація про попередній імпульс зберігається в інтегралі:
тобто інтеграл вже містить вплив всього, що було раніше. Головна умова при цьому правильно задати кожну силу як кускову функцію (8).
Перевага пропонованої методики є в наступному. Поки імпульси почергово діють інтеграл Дюамеля (13) точно враховує наявність однієї чи декількох сил. Поза інтервалом дії сили ми маємо Fj(ξ)=0. Якщо Δt<τj, то наступний імпульс починається раніше, ніж закінчується попередній. Наприклад, якщо tj+1<tj+τj, то в інтегралі (13) одночасно є присутніми Fi(ξ) та Fj+1(ξ), тобто інтеграл Дюамеля (13) автоматично враховує накладення сил. Якщо ж Δt>τj, то tj+τj<tj+1 і Qi(t)=0, тобто система коливається вільно. І це теж автоматично враховується інтегралом Дюамеля. І тільки за досягнення часу t≥t0 починається повна фаза вільних коливань і ми вже шукаємо максимуми qi,max за (23) і далі yj,max за (25).
Слід відмітити, що при будь якому іншому вигляді імпульсу методика, що викладена вище, не змінюється, а змінюються лише вигляд правої частини основного рівняння і, відповідно параметри, що від неї залежать.
Розглянемо приклад розрахунку умовної вертикальної консолі перерізом 500х500 мм, модуль пружності 25000 МПа. На консолі розташовані 5 однакових мас mj=m=3000 кг з однаковим кроком через 3 м. На кожну масу діють однакові сили з максимальним значенням Pj=312700 Н і однаковим продовженням дії τj=τ в двох варіантах τ=0.007 сек і τ=0.014 сек (дані взяті для конкретного вибуху з [1] з використанням калькулятора Кінгері-Булмаша за [9]). За наведеною вище методикою розраховані максимальні переміщення за виразом (25) для різних значень Δt почергового прикладення сил. В таблиці 1 наведені дані для варіанта τ=0.007 с., а в таблиці 2 – для варіанта τ=0.014 с.
Таблиця 1. Максимальні переміщення за виразом (25) для варіанта τ=0.007 с.
Таблиця 2. Максимальні переміщення за виразом (25) для варіанта τ=0.014 с.
Дані таблиць 1 та 2 свідчать, що запізнення приходу сил впливає на максимальний відгук системи. При малих значеннях τ і малих значеннях Δt вплив невеликий. Саме це було показано в [3]. Але при більшій тривалості імпульсу вплив різного часу приходу сил до різних точок споруди може бути значним, що не можна не враховувати в практичних розрахунках.
Висновки. Розглянута методика розрахунку динамічної системи за дії імпульсів різної тривалості, які надходять до різних точок динамічної системи в різний час. Показано, що різний час приходу сил впливає на загальний відгук системи і повинен бути врахованим.
Перевага запропонованого підходу полягає в тому, що незалежно від кількості інтервалів, протягом яких сили діють у різний час, використання інтегралу Дюамеля дозволяє в загальному вигляді представити рішення. Тому кількість інтервалів може бути довільно обрана і немає додаткової складності в числовій реалізації.
Список літератури
1. Азізов Т.Н., Кочкарьов Д.В. Вплив демпфування та часу дії тиску на зусилля конструкцій за дії вибухового навантаження // Ресурсоекономні матеріали, конструкції, будівлі та споруди. Вип. 47. – Рівне: Нац. ун-т водного господарства та природокористування, 2025. – С. 284-292.
2. Баженов В.А., Перельмутер А.В., Шишов Є.С. Будівельна механіка. Комп’ютерні технології. Київ: Каравела, 2009. – 310 с.
3. Гордеєв В.М. Фрагментація імпульсу // Збірник наукових праць Українського інституту сталевих конструкцій імені В.М. Шимановського. – Вип. 33-34. 2024. - с. 52-74
4. ДБН В.2.2-5:2023 Захисні споруди цивільного захисту. Київ: Міністерство розвитку громад та інфраструктури України, 2023. – 131 с.
5. Перельмутер А., Азізов Т., Кочкарьов Д., Срібняк, Н. . (2025). Вплив запізнення приходу вибухової хвилі на динамічну поведінку захисної споруди. Будівельні конструкції. Теорія і практика. К.: КНУБА, 2025. – С. 17–29.
6. Birbraer A.N. (2009). Extreme Actions on Structures. 593 p.
7. Clough R.W., Penzien J. (1975). Dynamics of Structures. New York. 319 p.
8. Karlos V., Solomos G. (2013). Calculation of Blast Loads for Application to Structural Components. JRC Technical Report, EUR 26456 EN. https://doi.org/10.2788/61866
9. Kingery C. N., Bulmash G., (1984) “Technical report ARBRL-TR-02555: Air blast parameters from TNT spherical air burst and hemispherical burst”, AD-B082 713,U.S. Army Ballistic Research Laboratory, Aberdeen Proving Ground, MD.
10. Unified Facilities Criteria (2008), “UFC 3-340-02 Structures to Resist the Effects of Accidental Explosions“, U.S. Army Corps of Engineers, Naval Facilities Engineering Command, Air Force Civil Engineer Support Agency.
|
Голосування 
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License
Знайшли помилку? Виділіть помилковий текст мишкою і натисніть Ctrl + Enter